Архимед, Ньютон и Гаусс — эта тройка сама по себе выделяется в группу среди великих математиков. Все трое вызвали приливные волны в чистой и прикладной математике: Архимед ставил чистую математику гораздо выше ее приложений; Ньютон, кажется, находил главное оправдание своим математическим открытиям в той пользе, которую они приносили естествознанию; Гаусс же заявлял, что для него все равно, заниматься ли в направлении чистой или прикладной математики. Тем не менее Гаусс короновал высшую арифметику — наиболее далекую от практики в то время область математических исследований — царицей математики.

Происхождение Гаусса — короля математиков было далеко не королевским. Сын бедных родителей, он появился на свет в жалком сельском домике в Брауншвейге, в Германии, 30 апреля 1777 г. Дед Гаусса по отцу был бедным крестьянином. Трудная жизнь родившегося в 1744 г. его сына Герхарда Дидриха, работавшего садовником, смотрителем каналов и каменщиком, не была примечательной ни в каком отношении, не считая уникальной чести стать отцом Гаусса.

То, что мы знаем об отце Гаусса, позволяет представить его прямым, скрупулезно честным, грубоватым человеком, чья резкость в общении с сыновьями иногда граничила с жестокостью. Только ряд счастливых случайностей спас Гаусса от удела садовника или каменщика. Ребенком он был послушным и почтительным и хотя в дальнейшей жизни не порицал отца, но давал понять, что никогда не питал к нему особой привязанности. Герхард умер в 1806 г. К этому времени его сын, которого он упорно пытался обескуражить, завершил свое бессмертное сочинение.

С материнской стороны Гауссу действительно повезло. Отец его матери Доротеи Бенц был каменотесом, он умер тридцати лет. 178  Младший брат матери Фридрих, принужденный материальными недостатками стать ткачом, был в высшей степени разумным, добрым человеком, чей острый и беспокойный ум вторгался по собственному почину в области, далекие от его повседневных интересов. Обнаружив родственный ум у сына своей сестры, искусный дядя Фридрих оттачивал свой разум разумом юного гения и делал все, что мог для поощрения живой сообразительности мальчика.

Мать Гаусса приехала в Брауншвейг в 1769 г., она была решительная женщина с сильным характером, острым умом и изрядным чувством юмора. Тридцати четырех лет (в 1776 г.) она вышла замуж за будущего отца Гаусса и в следующем году родила сына. Его полное имя было Иоганн Фридрих Карл Гаусс (имя дяди сохранилось в имени благодарного племянника). Сын был гордостью матери с самого его рождения до ее смерти в возрасте 97 лет. Двухлетний вундеркинд, чей изумительный ум поражал всех, следивших за его развитием, даже превзошел надежды, которые он подавал в детстве. Доротея Гаусс стала на его сторону и одолела настояния упрямого мужа оставить сына таким же невежественным, как он сам.

Доротея надеялась и ждала от сына великих дел. Когда Гауссу было 19 лет, она спросила его друга Вольфганга Бойяи, достигнет ли когда-нибудь Гаусс чего-нибудь. Когда Бойяи воскликнул: «Это величайший математик Европы!» — она залилась слезами.

Последние 22 года своей жизни она провела в доме сына. Самого Гаусса мало беспокоила его слава, его триумфами жила его мать. Между ними всегда было полнейшее взаимопонимание; Гаусс вознаградил смелое покровительство матери в детстве тем, что обеспечил ей безмятежную старость.

Из многих происшествий, которые могли лишить Архимеда и Ньютона их собрата в математике, Гаусс вспоминает об одном случившемся с ним в младенчестве. Весенний разлив резко поднял воду в канале, и игравший на его берегу Гаусс был смыт водой. Лишь благодаря счастливой случайности он не утонул.

Во всей истории математики нет никого, кто приблизился бы к Гауссу по ранней одаренности. Неизвестно, в каком возрасте Архимед впервые проявил свой гений. Самые ранние проявления высочайшего математического таланта Ньютона вполне могли пройти незамеченными. Гаусс же, хотя это кажется невероятным, показал свою одаренность, когда ему не было еще трех лет. Как-то в субботу Герхард Гаусс составлял платежную ведомость для рабочих. Дойдя до конца своих длинных расчетов, Герхард с удивлением услышал: «Папа, вычисления неверны, должно быть...» Проверка показала, что число, названное младшим Гауссом, было правильным.

Еще раньше мальчик выспросил у родителей и их друзей, как произносятся буквы алфавита и самостоятельно научился читать. Никто не учил его арифметике, хотя, вероятно, вместе с алфавитом он получил сведения о значении цифр 1,2, ... . Впоследствии он любил шутить, что научился считать раньше, чем говорить. 179  Необыкновенные способности вычислять в уме были присущи ему всю жизнь. Вскоре после достижения 7 лет Гаусс пошел в свою первую школу, представлявшую собой убогий пережиток средневековья. В ней примерно сотню мальчиков обучал некий Бютнер, который запугивал их до предела. В такой адской дыре Гаусс нашел свое счастье.

В первые два года учебы не случилось ничего необычайного. Затем, на десятом году жизни, Гаусс начал проходить арифметику. Поскольку ей обучались начинающие, никто из мальчиков не слышал об арифметической прогрессии. Поэтому для Бютнера было легко дать детям длинную задачу на сложение, ответ к которой он мог найти по формуле в несколько секунд. Задача требовала выполнить сложение 81 297 + 81 495 + 81 693 + ... + 100 899, где каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину (в данном случае на 198) и общее количество чисел дано (здесь 100).

Как только Бютнер дал задание, Гаусс подошел к его столу и положил на него свою грифельную доску с решением. Затем в течение часа, пока другие мальчики пыхтели над задачей, он сидел сложа руки. В конце урока Бютнер проверил доски. На доске Гаусса было написано только одно число. До конца своих дней Гаусс любил рассказывать, что это единственное число, написанное им на доске, давало правильный ответ, а все остальные ученики ошиблись. Ему никто не показывал до этого, каким способом такие задачи решаются быстро. Как только способ известен, это очень просто, но для 10-летнего мальчика найти этот способ мгновенно не так уж и просто.

Это открыло Гауссу дверь, через которую он пошел к бессмертию. Бютнер был так поражен тем, что сделал десятилетний мальчик без каких-либо указаний, что быстро искупил свои грехи и по крайней мере для одного из своих воспитанников стал гуманным учителем. На собственные деньги он купил самый лучший учебник арифметики, который смог достать, и подарил его Гауссу. Мальчик проглотил книгу. «Он превзошел меня, — сказал Бютнер, — я ничему больше не могу его научить».

Сам Бютнер не мог, вероятно, дать много юному гению. Но по счастливому случаю у учителя был помощник Иоганн Мартин Бартельс (1769 — 1836), молодой человек, влюбленный в математику. Между 17-летним помощником учителя и 10-летним школьником возникла сердечная дружба, которая продолжалась до конца жизни Бартельса. Они вместе занимались, помогая друг другу разобраться в трудных вопросах и расширяя доказательства в общем для них учебнике по алгебре и начаткам анализа.

Из этих ранних занятий развился один из научных интересов Гаусса, доминировавших в его деятельности. Он быстро овладел биномиальной теоремой: 180 

a+ *)^ft=i+-^;*+ ^я<^я-¹>.г»₊"^(п-^1)(я-²⁾-*^з + ...,

1 1-2 1-2-3

где n — не обязательно положительное целое число, n может быть любым числом. Если п не целое положительное, то ряд в правой части является бесконечным (продолжается без конца) и, для того чтобы выявить, когда этот ряд действительно равен (1 + х)^п, приходится исследовать, какие ограничения должны быть наложены на п и х, чтобы бесконечный ряд сходился к определенному конечному пределу. Так, если х = –2 и n = –1, то получаем абсурдный результат, что (1 — 2)"¹, равное (–1)^–1, т.е. и, наконец, –1, равно 1 + 2 + 2² + 2³ + ..., и так до бесконечности, т. е. что — 1 есть сумма бесконечного множества чисел 1 +2 +4 -[- 8 + ..., что является бессмыслицей.

До того, как юный Гаусс не задал себе вопрос, сходится ли бесконечный ряд и действительно ли позволяет нам вычислять математические выражения (функции), для представления которых он используется, старшее поколение сведущих в анализе серьезно не беспокоилось о том, чтобы объяснить таинственность (и нелепость), появляющуюся из-за некритического употребления бесконечных процессов. Столкновение юного Гаусса с биномиальной теоремой вдохновило его на некоторые из величайших его трудов, и он стал первым среди проводников строгости в анализе.

Доказательство биномиальной теоремы, когда п не является целым числом, большим нуля, даже сегодня лежит за пределами элементарных учебников. Гаусс, не удовлетворенный тем, что он и Бартельс нашли в своем учебнике, дал доказательство. Это ввело его в математический анализ. Истинной сутью анализа является правильное употребление бесконечных процессов.

Так хорошо начатая работа должна была изменить весь вид математики. Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж, Лаплас — все великие аналитики своего времени практически не имели представления о том, что теперь считается доказательством, включающим в себя бесконечные процессы. Первым, кто ясно увидел, что «доказательство», которое может привести к абсурдным утверждениям, подобным тому, что «минус единица равна бесконечности», вовсе не является доказательством, был Гаусс. Даже если в некоторых случаях формула дает согласованные результаты, ей нет места в математике, пока не определены точные условия, при которых она продолжает оставаться согласуемой.

Строгость, внесенная Гауссом в анализ, постепенно распространилась на всю математику в результате подхода к этому как самого Гаусса, так и его современников Абеля и Коши¹, а также его последователей Вейерштрасса и Дедекинда; математика после Гаусса 181  стала совершенно отличной от математики Ньютона, Эйлера и Лагранжа.

В конструктивном смысле Гаусс был революционером. Еще до окончания школы тот же дух критицизма, который привел его к неудовлетворенности биномиальной теоремой, побудил его усомниться в доказательствах элементарной геометрии. В 12-летнем возрасте он уже косо смотрел на основания евклидовой геометрии; 16-ти лет его впервые озарил проблеск геометрии, отличной от евклидовой. Годом позже он начал критически исследовать доказательства в теории чисел, которые удовлетворяли его предшественников, и поставил себе исключительно трудное задание восполнить пробелы и завершить то, что было сделано лишь наполовину. Арифметика — предмет его самых ранних успехов — стала его любимым научным занятием, и здесь появился его шедевр. К своему верному чувству того, что составляет доказательство, Гаусс присовокупил богатую, никем не превышенную математическую изобретательность. Это сочетание оказалось непревзойденным.

Бартельс сделал для Гаусса больше, чем просто ввел его в тайны алгебры. Молодой учитель был знаком с некоторыми влиятельными людьми Брауншвейга. Теперь его делом стало заинтересовать их своей находкой. Они, в свою очередь, пораженные очевидной гениальностью Гаусса, обратили на него внимание Брауншвейг-ского герцога.

Герцог принял Гаусса в первый раз в 1791 г. Скромность и неуклюжая застенчивость 14-летнего мальчика покорили сердце герцога. Гаусс ушел от него с уверенностью, что его образование будет продолжено. В следующем году (в феврале 1792 г.) Гаусс был зачислен в Карлово училище (Collegium Carolinum) в Браун-швейге. Герцог платил за его обучение, пока оно не завершилось.

До поступления в училище в возрасте 15 лет Гаусс достиг больших успехов в изучении классических языков, занимаясь ими частным образом с помощью старших друзей. Блестящее владение им классическими языками изумило преподавателей и учащихся в училище.

Сам Гаусс был очень увлечен филологией, но, к счастью для науки, вскоре познал более побудительное влечение к математике. При поступлении в училище Гаусс уже свободно владел латынью, на которой написаны многие из его величайших трудов. Только по настоянию своих друзей-астрономов в Германии он написал некоторые свои астрономические работы по-немецки.

Гаусс обучался в училище 3 года, в течение которых он овладел наиболее важными трудами Эйлера, Лагранжа и более всего «Началами» Ньютона. Величайшая похвала великому человеку — та, которая исходит от другого такого же. Гаусс никогда не снизил оценки Ньютона, которая сложилась у него в 17-летнем возрасте. Другие — Эйлер, Лаплас, Лагранж, Лежандр — появляются в беглой латыни Гаусса с лестным эпитетом «клариссимус» (clarissimus 182  — яснейший); Ньютон же у него «суммус» (summus — величайший).

Еще в училище Гаусс начал те исследования по высшей арифметике, которые обессмертили его имя. Его необыкновенные вычислительные способности теперь сильно пригодились. Занявшись непосредственно самими числами, он экспериментировал с ними, открывал по индукции глубокомысленные общие теоремы, доказательства которых даже ему стоили усилий. Именно таким способом он переоткрыл «жемчужину арифметики» — «золотую теорему» («theorema aureum»), к которой Эйлер также пришел индуктивно и которая известна как закон взаимности квадратичных вычетов. Гаусс был первым, кто доказал ее (попытка Лежандра доказать ее запятнана запутанностью).

Началом всего исследования явился простой вопрос, который задают себе многие новички в арифметике: сколько цифр содержится в периоде десятичной периодической дроби? Чтобы пролить на эту задачу некоторый свет, Гаусс вычислил десятичные представления для всех дробей вида — при п от единицы до тысячи. Он нашел не то сокровище, которое искал, а нечто бесконечно большее — закон взаимности квадратичных вычетов. Поскольку он формулируется довольно просто, мы опишем его здесь, одновременно введя одно из изобретенных Гауссом улучшений в терминологии и записях в арифметике, которое произвело в ней коренную ломку, — именно понятие сравнения. Все числа в нижеследующем изложении являются целыми.

Если разность (а — Ь или b — а) двух чисел а и Ъ делится нацело на число т, мы говорим, что а и Ь сравнимы между собой по модулю т, и выражаем это символически, записывая а = Ь (mod m). Например, 100 = 2 (mod 7), 35 е= 2 (mod 11).

Преимущество такой записи состоит в том, что она напоминает нам способ написания алгебраических уравнений, дает понятию арифметической делимости компактное представление и наводит на мысль попытаться перенести на арифметику (которая гораздо труднее алгебры) некоторые из операций, приводящих к хорошим результатам в алгебре. Например, мы можем «складывать» уравнения и обнаруживаем, что сравнения тоже можно «складывать», если они берутся по одному и тому же модулю; при этом получаются другие сравнения.

Пусть x обозначает неизвестное число, а r и m — данные числа, причем r не делится на m. Существует ли число x такое, что

Если такое число х существует, то r называется квадратичным вычетом т, если не существует — квадратичным невычетом т.

Если r есть квадратичный вычет т, то можно найти по крайней мере одно число х, квадрат которого при делении на т дает в остатке r. Если r — квадратичный невычет т, то не существует ни 183  одного числа x, квадрат которого при делении на т дает в остатке г. Это непосредственные следствия данных выше определений.

Проиллюстрируем сказанное примером. Является ли число 13 квадратичным вычетом числа 17? Если да, то можно решить сравнение х^й == 13 (mod 17). Испытывая числа 1, 2, 3, ..., мы обнаружим, что числа х = 8, 25, 42, 59, ... являются решениями (8² = 64 = = 3  17+13; 25³ = 625 = 36-17 + 13; и т. д.). Таким образом, 13 является квадратичным вычетом 17. Однако сравнение х² = = 5 (mod 17) не имеет решения, так что 5 является квадратичным невычетом 17.

Теперь естественно задать вопрос: что представляют собой квадратичные вычеты и квадратичные невычеты данного числа т? Именно, пусть задано т в сравнении х^% = г (mod m). Какие числа могут и какие не могут появляться вместо г, когда х пробегает все значения 1, 2, 3, ...?

Без больших трудностей можно показать, что вопрос сводится к случаю, когда г и т. являются простыми числами. После этого можно переформулировать задачу: если р есть данное простое число, то какие простые числа q делают сравнение

разрешимым? Вообще это значит спрашивать слишком много при современном состоянии арифметики. Тем не менее положение не является совершенно безнадежным.

Имеется изящная «взаимность» между парами сравнений

в которых p и q — простые числа. Оба сравнения разрешимы или оба неразрешимы во всех случаях, кроме одного — когда как р, так и q при делении на 4 дают в остатке 3. В этом случае одно из сравнений разрешимо, а другое — нет. Это и есть закон взаимности квадратичных вычетов.

Его нелегко доказать. В самом деле, это не удалось сделать Эйлеру и Лежандру. Гаусс дал свое первое доказательство в возрасте 19 лет. Поскольку закон взаимности имеет фундаментальное значение в высшей арифметике и во многих отделах алгебры, Гаусс обращался к нему вновь и вновь в течение многих лет, стремясь найти его главные корни, пока не дал шесть различных доказательств теоремы, одно из которых опирается на построение с помощью циркуля и линейки правильных многоугольников.

Численные примеры разъяснят формулировку закона. Положим сперва р = 5, q = 13. Так как при делении на 4 оба эти числа дают остаток 1, оба сравнения

или разрешимы или неразрешимы одновременно. В данном случае они оказываются неразрешимыми. Для чисел р = 13, q = 17, которые оба дают при делении на 4 остаток единицу, снова получаем, 184  что сравнения

или оба разрешимы или оба неразрешимы. Здесь они оба разрешимы: первое имеет решения х = 2, 15,28,...; второе х = 8, 25, 42

Нам теперь осталось рассмотреть случай, когда p и q оба дают при делении на 4 остаток 3. Возьмем р = 11, q = 19. Тогда согласно закону взаимности только одно из сравнений

разрешимо. Первое сравнение не имеет решений, второе имеет решения x = 7, 26, 45, ... .

Открытие этого закона само по себе было выдающимся достижением. То, что он был впервые доказан 19-летним юношей, убедит каждого, кто попытается самостоятельно доказать его, что Гаусс был не просто человеком, хорошо знающим математику.

Когда Гаусс в октябре 1795 г. в возрасте 18 лет оставил училище, чтобы поступить в Гёттингенский университет, он все еще не решил, чему посвятить жизнь — математике или филологии. К этому времени он уже изобрел метод «наименьших квадратов», который теперь так необходим при геодезических съемках, при обработке наблюдений и действительно повсюду, где «наиболее вероятное» значение какой-нибудь измеряемой величины должно быть получено из большого числа измерений (наиболее вероятное значение получается путем сведения к минимуму суммы квадратов отклонений в пределах предполагаемой точности). Честь этого открытия Гаусс делит с Лежандром, который независимо от Гаусса опубликовал метод в 1806 г. Работа в этом направлении вызвала у Гаусса интерес к теории ошибок наблюдения. Закон Гаусса нормального распределения ошибок и соответствующая колоколооб-разная кривая теперь известны всем тем, кто имеет дело со статистикой.

День 30 марта 1796 г. стал поворотным пунктом в жизни Гаусса. В этот день, как раз за месяц до своего 19-летия, Гаусс окончательно сделал выбор в пользу математики. Изучение языков осталось на всю жизнь его любимым занятием на досуге.

Как уже было сказано в главе о Ферма, правильный семнадцатиугольник был тем жребием, который заставил Гаусса перейти свой Рубикон. В тот же день Гаусс начал вести свой научный дневник. Это один из ценнейших документов в истории математики. Первая запись в нем увековечивает его великое открытие.

Дневник вошел в научное обращение только в 1898 г., 43 года спустя после смерти Гаусса. Он состоит из девятнадцати небольших страниц и содержит 146 исключительно кратких записей об открытиях или результатах вычислений, последняя из которых датирована 9 июля 1814 г. Факсимильное воспроизведение рукописи было опубликовано в 1917 г. в десятом томе (часть 1) Собрания сочинений 185  Гаусса вместе с исчерпывающим анализом ее содержания, проведенного несколькими сведущими редакторами. Не все открытия Гаусса этого плодотворного периода с 1796 по 1814 г. отмечены в дневнике. Но многие из тех, которые бегло очерчены в нем, достаточны для того, чтобы установить приоритет Гаусса в различных областях математики, например в изучении эллиптических функций — здесь некоторые его современники отказывались верить, что он предвосхитил их.

То, что оказалось похороненным на годы или десятилетия в дневнике, могло бы создать доброе имя полдюжине ученых, если бы было быстро опубликовано. Кое-что вообще не стало достоянием гласности при жизни Гаусса, и он никогда не претендовал в своих публикациях на то, что опередил других, которые сталкивались с ним. Однако записи свидетельствуют, что он опередил некоторых из тех, кто ставил под сомнение сообщения его друзей. Эти предвосхищения не были просто заурядными. Некоторые из них привели к более важным областям математики XIX в.

Некоторые заметки указывают на то, что дневник был сугубо личным делом их автора. Так, под 10 июля 1796 г. имеется запись:

ЕГРНКА! пит = Δ + Δ + Δ.

Она воскрешает в памяти восклицание Архимеда «Эврика!» и содержит утверждение, что всякое положительное целое число является суммой трех треугольных чисел, т. е. чисел последовательности 0, 1, 3, 6, 10, 15, ..., в которой каждый член (после нуля) представим в виде — п ■ (п — 1). Другим способом толкования того же является утверждение, что всякое число вида 8/г + 3 есть сумма трех нечетных квадратов: 3 = I² + I² + I², 11 = I² + I² + З², 19 = I² + З² + З² и так далее. Доказать это сразу нелегко.

Смысл двух записей навсегда потерян для нас, остальные 144 большей частью достаточно ясны. Одна из них особенно важна — это запись от 19 марта 1797 г., показывающая, что уже Гаусс открыл двоякую периодичность некоторых эллиптических функций. Ему тогда не было еще 20 лет. Кроме того, более поздняя запись показывает, что Гаусс постиг двоякую периодичность и в общем случае. Одно это открытие, если бы он опубликовал его, могло бы сделать его знаменитым.

Почему Гаусс придерживал свои великие открытия? Это объяснить легче, чем его гений, — если воспринять его собственные простые заявления, о которых сейчас будет рассказано.

Говоря о себе, Гаусс заметил, что предпринимал свои научные исследования лишь по глубочайшему внутреннему побуждению, и для него было второстепенным вопросом, будут ли когда-нибудь они опубликованы для сведения других. Другое заявление, которое Гаусс сделал однажды своему другу, объясняет как дневник, так и медленность в публикациях. Он сказал, что, прежде чем ему исполнилось 20 лет, его ум обуревала такая несметная масса новых 186  идей, что он едва мог охватить их и его времени хватало только для того, чтобы записать небольшую их часть. Дневник содержит лишь короткие формулировки конечных результатов, явившихся плодом проведенных исследований: некоторыми из них он занимался неделями. Размышляя, будучи юношей, над завершенными нерушимыми цепями синтетических доказательств, в которые Архимед и Ньютон заключили свое вдохновение, Гаусс решил следовать их великому примеру и оставить после себя лишь законченные произведения, настолько совершенные, что к ним ничего нельзя добавить и от них ничего нельзя убавить, не обезображивая целого. Работа сама по себе должна быть полной, простой и убедительной, без всякого следа затраченного на ее выполнение труда. Имея перед собой такой идеал, Гаусс предпочитал несколько раз шлифовать один шедевр, чем публиковать свободные наброски многих, что он легко мог бы сделать.

Плоды этого стремления к совершенству были действительно зрелыми, но не всегда удобоваримыми. Поскольку все следы того, каким путем достигалась цель, устранялись, последователям Гаусса было нелегко переоткрыть пройденный им путь. Соответственно, некоторые из его работ должны были ждать одаренных толкователей, прежде чем математики смогли в общем понять их, увидеть их значение для нерешенных проблем и пойти дальше вперед. Современники Гаусса просили его ослабить строгость холодного совершенства, чтобы математика могла быстрее продвигаться вперед, но Гаусс никогда не делал послаблений. Лишь спустя длительное время после его смерти стало известно, как много из математики XIX столетия предвидел и предвосхитил Гаусс ранее 1800 г. Если бы он разгласил все, что знал, вполне возможно, что математика теперь на 50 лет или более опережала бы нынешнее свое состояние. Абель и Якоби смогли бы начать с того, что забросил Гаусс, вместо того чтобы тратить многие свои самые утонченные усилия на переоткрытие того, что знал Гаусс еще до их рождения, а создатели неевклидовой геометрии могли бы обратить свой гений на другие вещи.

О себе Гаусс говорил, что он «во всем математик». Это верно, если учесть, что «математик» его дней включал также того, кого теперь можно назвать занимающимся математической физикой. Действительно, его девиз^*:

Ты, природа, моя богиня,
И я служу твоим законам... —

точно резюмирует его жизнь, посвященную математике и естествознанию того времени. Его выражение «во всем математик» следует понимать в том смысле, что он не разбросал свой великолепный надел семян по всем полям, с которых мог снять обильный 187  урожай, в чем он упрекал Лейбница, а развивал свой величайший дар к совершенству.

Три года в Гёттингенском университете (октябрь 1795 — сентябрь 1798) были наиболее плодотворными в жизни Гаусса. Он погрузился в работу. Друзей у него было немного. Один из них — Вольфганг (Фаркаш) Бойяи — стал другом на всю жизнь. Течение этой дружбы и ее значение в истории неевклидовой геометрии потребовали бы слишком много места для рассказа о них здесь. Сыну Вольфганга, Иоганну (Яношу), пришлось пройти практически тот же путь, которому следовал Гаусс, чтобы создать неевклидову геометрию в полном неведении того, что старый друг отца предвосхитил его². Идеи, одолевавшие Гаусса с 17 лет, теперь частью были схвачены и приведены в порядок. С 1795 г. он замыслил большое сочинение по теории чисел. Теперь оно принимает определенную форму, и к 1798 г. «Арифметические исследования» (Disquisitiones Arithmeticae) были практически закончены.

Чтобы ознакомиться с тем, что уже было сделано в высшей арифметике, и увериться, что он предоставляет должный кредит своим предшественникам, Гаусс в сентябре 1798 г. отправился в Хельмштедт, где была хорошая математическая библиотека. Там он обнаружил, что его слава опередила его. Он был сердечно принят ведавшим библиотекой профессором математики Иоганном Фридрихом Пфаффом (1765 — 1825), в доме которого и поселился. Гаусс и Пфафф стали пылкими друзьями. Пфафф, очевидно, считал своим долгом узнать, чем занимается его трудолюбивый молодой друг, так как по вечерам они прогуливались, беседуя о математике. Поскольку Гаусс был не только скромным, но и сдержанным в рассказах о своих работах, Пфафф, вероятно, не узнал от него столько, сколько мог бы узнать. Гаусс чрезвычайно восхищался профессором (он был тогда самым известным математиком Германии) не только ввиду его превосходных работ, но и ввиду его открытого простого характера.

Осень 1798 г. Гаусс провел в Брауншвейге, совершая случайные поездки в Хельмштедт: он наносил заключительные мазки в «Арифметические исследования». Он надеялся на быстрое издание, но книга находилась в печати из-за трудностей у издателя в Лейпциге до сентября 1801 г.

Когда молодой гений, закончив Гёттингенский университет, стал беспокоиться о своем будущем, ему пришел на помощь герцог, который оплатил печатание его докторской диссертации (1799) и пожаловал стипендию, которая позволила ему продолжать научную деятельность. 188 

Прежде чем осветить «Арифметические исследования», мы коснемся диссертации, за которую Гаусс был удостоен заочно степени доктора Хельмштедтским университетом: «Новое доказательство теоремы о том, что всякая целая рациональная алгебраическая функция одной переменной может быть разложена на действительные множители первой или второй степени».

В диссертации, явившейся вехой в алгебре, лишь одно неверно. Первые два слова в названии могут создать впечатление, что Гаусс просто добавил новое доказательство к уже известным другим. Ему следовало опустить слово «новое». Его доказательство было первым (смысл этого будет разъяснен ниже). Некоторые математики до Гаусса публиковали то, что они считали доказательствами этой теоремы, обычно называемой основной теоремой алгебры, но никто из них не достиг цели³. С его бескомпромиссными требованиями к логической и математической строгости Гаусс настаивал именно на доказательстве и дал его впервые. Другая, эквивалентная формулировка теоремы состоит в том, что всякое алгебраическое уравнение с одним неизвестным имеет корень. Начинающие часто принимают это утверждение на веру, не имея даже отдаленного понятия, в чем его смысл.

Сомневаться в том, будто утверждение, что всякое алгебраическое уравнение имеет корень, что-либо значит, можно до тех пор, пока не сказано, какой именно корень имеет уравнение. Смутно мы чувствуем, что какое-то число будет удовлетворять уравнению, а не полфунта масла.

Гаусс превратил интуитивное представление в точное знание, доказав, что все корни любого алгебраического уравнения суть «числа» вида а + Ы, где а и b — действительные числа (числа, которые соответствуют расстояниям — положительным, отрицательным и нулевому, — измеряемым от фиксированной точки О на данной прямой — оси х декартовой геометрии), a i есть квадратный корень из — 1. Эти новые «числа» называются комплексными⁴.

При этом Гаусс одним из первых дал связное последовательное объяснение комплексных чисел и интерпретировал их как точки плоскости, что принято теперь в элементарных учебниках алгебры.

Декартовы координаты точки Р — это (а, Ь); точка Р также изображает число а + Ы. Таким образом, каждой точке плоскости соответствует одно и только одно комплексное число. Числа, соответствующие точкам на оси х, являются «действительными»; 189  числа, соответствующие точкам на оси у, — «чисто мнимыми» (они имеют вид ic, где c — действительное число).

Слово «мнимый» — настоящее бедствие для алгебры, но для математиков оно настолько установилось, что не приходится его искоренять. Его не следовало бы использовать вообще. Книги по элементарной алгебре дают простое истолкование мнимых чисел в терминах вращений. Так, если умножение i ■ с, где с — действительное число, истолковать как поворот вокруг точки О отрезка Ос на прямой угол (против часовой стрелки), то при этом Ос попадет на 0Y; еще одно умножение на i, именно i  i  с, повернет отрезок Ос еще на прямой угол, и, следовательно, в результате Ос повернется на два прямых угла, так что +Ос станет — Ос. Как операция, умножение на i ■ i дает тот же результат, что и умножение на — 1; умножение на i дает тот же результат, что и вращение на прямой угол, и эти истолкования (как мы сейчас видели) совместны. Если нам нравится, мы можем теперь написать i ■ i — — 1, или г² = — 1, так что операция поворота на прямой угол описывается символом √–1.

Все это, конечно, ничего не доказывает. Оно и не означает доказательства чего-то. Здесь нечего доказывать. Мы просто приписываем символам и операциям алгебры некоторые значения, какие бы то ни было, приводящие к совместности. Хотя истолкование с помощью вращений ничего не доказывает, оно может навести на мысль, что здесь нет оснований для кого-либо суетливо приходить в состояние мистического удивления перед небытием ввиду чрезвычайно неудачного названия «мнимые». Относительно дальнейших подробностей мы должны сослаться на почти любой школьный учебник элементарной алгебры.

Гаусс считал теорему о том, что всякое алгебраическое уравнение имеет корень (в том смысле, который был сейчас разъяснен) столь важной, что дал четыре различных ее доказательства, причем последнее в 70-летнем возрасте. Сейчас иногда перемещают эту теорему из алгебры в анализ, ограничивая алгебру теми процессами, которые могут быть выполнены за конечное число шагов. Даже Гаусс предполагал, что график многочлена является непрерывной кривой и что если многочлен имеет нечетную степень, то график должен пересечь ось х по крайней мере один раз. Для любого новичка в алгебре это очевидно. Но теперь это не является очевидным и требует доказательства, а попытки провести доказательство снова приводят к трудностям, связанным с непрерывностью и бесконечностью. Даже корни такого простого уравнения, как х* — 2 = 0, не могут быть вычислены точно за любое конечное число шагов. Сейчас мы переходим к «Арифметическим исследованиям».

Это был первый из шедевров Гаусса, и некоторые считают его величайшим. Он явился прощанием с чистой математикой как с предметом исключительного интереса. После его опубликования в 1801 г. (Гауссу тогда было 24 года) он расширил свою активность, включив в нее астрономию, геодезию и учение об электромагнетизме 190  как в математическом, так и в практическом аспекте. Но арифметика была его первой любовью, и он в дальнейшем всю жизнь сожалел, что не нашел времени написать второй том, который он замышлял молодым человеком. В книге 7 частей. Должна была быть и 8-я, но она опущена, чтобы снизить стоимость печатания.

Вводная фраза предисловия описывает общую направленность книги. «Исследования, содержащиеся в этом труде, относятся к той части математики, которая имеет дело с целыми числами, а также с дробями; иррациональные числа постоянно исключаются».

В первых трех частях излагается теория сравнений и, в частности, дается исчерпывающее рассмотрение двучленного сравнения Х^п = A (mod р), где п и А — произвольные целые числа, ар — простое число; неизвестным целым числом является х. Изящная арифметическая теория имеет много сходства с соответствующей алгебраической теорией двучленного уравнения х^п = А, но в своих собственно арифметических частях несравненно богаче и труднее алгебраической; при этом алгебра не выявляет аналогий с арифметикой.

В четвертой части Гаусс развивает теорию квадратичных вычетов. Здесь находится первое опубликованное доказательство закона взаимности квадратичных вычетов. Доказательство является удивительным применением математической индукции и служит образцом изобретательной логики, повсеместной в книге.

В пятой части начинается теория двойничных квадратичных форм, рассматриваемая с арифметической точки зрения и вскоре сопровождаемая обсуждением тройничных квадратичных форм, которые оказываются необходимыми для завершения бинарной теории. Закон взаимности квадратичных вычетов играет фундаментальную роль в этих трудных свершениях. Для форм первого вида задача, названная общей, состоит в рассмотрении решения в целых числах х, у неопределенного уравнения

где a, b, c, m — данные целые числа. Для форм второго вида предметом исследования являются целочисленные решения х, у и z уравнения

где a, b, c, d, e, f, m — данные целые числа. Выглядящим простым, однако на самом деле трудным вопросом в этой области является наложение необходимых и достаточных ограничений на а, с, /, т, которые обеспечивают существование целочисленного решения неопределенного уравнения

Шестая часть заключает применения предыдущей теории к различным специальным случаям, например к целочисленным решениям уравнения

где m, n, A — данные целые числа. 191 

В седьмой, последней части, которую многие считают венцом сочинения, Гаусс использует предшествующие результаты, особенно теорию двучленных сравнений, к замечательному рассмотрению алгебраического уравнения х^п = 1, где п — любое заданное целое число, в котором арифметика, алгебра и геометрия сплетаются вместе в образец особого совершенства. Уравнение х^п = 1 дает алгебраическую формулировку геометрической задачи построения правильного n-угольника или деления окружности на п равных частей (смотри любой повышенный учебник алгебры'или тригонометрии). Арифметическое сравнение х'^г = 1 (mod р), где тир — данные целые числа, причем р — простое, является нитью, пронизывающей алгебру и геометрию и придающей упомянутому образцу простое значение. Это безупречное произведение искусства доступно пониманию любого студента, владеющего школьной алгеброй. Тем не менее «Арифметические исследования» не рекомендуются для новичков (сжатое изложение Гаусса было переработано позднейшими авторами и приобрело более удобочитаемую форму).

Многие части всего содержащегося в книге были сделаны иначе прежде — Ферма, Эйлером, Лагранжем, Лежандром и другими, но Гаусс дал трактовку всего со своей точки зрения, добавил много своего и вывел изолированные результаты своих предшественников из своих общих формулировок и решений относящихся сюда задач. Например, замечательный результат Ферма о том, что всякое простое число вида 4n + 1 является суммой двух квадратов и что оно представляется такой суммой только одним способом, который Ферма доказал трудным методом «бесконечного спуска», следует естественным образом из общего рассмотрения Гауссом двойничных квадратичных форм.

«Арифметические исследования», — сказал Гаусс на склоне лет, — вошли в историю. И он был прав. Опубликованием этой книги высшей арифметике было придано новое направление, и теория чисел, которая в XVII и XVIII столетиях являлась разнообразным объединением не связанных между собой отдельных результатов, приобрела связность и поднялась до уровня математической науки наряду с алгеброй, анализом и геометрией.

Само сочинение было названо «книгой за семью печатями». Его трудно читать даже знатокам, но содержащиеся в нем сокровища, а также (частично скрытые) сжатые синтетические доказательства теперь доступны всем, кто пожелает овладеть ими, главным образом в результате трудов ученика и друга Гаусса Петера Густава Лежен Дирихле (1805 — 1859), который первым вскрыл «семь печатей».

Сведущие ценители признали шедевр таковым сразу же. Лежандр^** в предисловии ко второму изданию своего трактата по теории 192  чисел (1808), который во многих частях был превзойден «Исследованиями», относится к ним с энтузиазмом. Лагранж также похвалил их немедленно. В письме Гауссу от 31 мая 1804 г. он говорит: «Ваши «Исследования» сразу же возвысили Вас до уровня первых математиков, и я считаю, что последняя часть содержит самое красивое аналитическое открытие среди сделанных на протяжении длительного времени... Поверьте, сударь, что никто не аплодирует Вашему успеху более искренне, чем я».

Из-за классического совершенства стиля «Исследования» усваивались несколько медленно, и, когда, наконец, одаренные молодые люди начали глубоко изучать сочинение, его уже невозможно было достать, так как книготорговец обанкротился. Даже Эйзенштейн, любимый ученик Гаусса, так никогда и не имел своего экземпляра книги. Дирихле повезло больше. Его экземпляр сопровождал его во всех путешествиях, и он спал, положив его под подушку. Перед тем как ложиться, он осиливал какой-нибудь трудный параграф в надежде, часто исполнявшейся, что он пробудится ночью, чтобы обнаружить, что при повторном чтении все стало ясным. Именно Дирихле принадлежит изумительная теорема, упомянутая в связи с Ферма, о том, что всякая арифметическая прогрессия

в которой a и b — целые числа, не имеющие общего делителя, большего единицы, содержит бесконечно много простых чисел. Она была доказана с помощью анализа, что само по себе является чудом, так как в теореме идет речь о целых числах, тогда как анализ имеет дело с непрерывным нецелым.

Перед тем как оставить эту область деятельности Гаусса, можно спросить, почему он никогда не брался за Последнюю теорему Ферма. Он сам дает ответ на это: «...теорема Ферма, как изолированное утверждение, представляет для меня очень небольшой интерес, так как я могу легко выдвинуть множество таких утверждений, которые никто не смог бы ни доказать, ни опровергнуть».

Дальше Гаусс говорит, что затронутый вопрос побудил его вспомнить некоторые свои старые идеи для значительного расширения высшей арифметики. Это, несомненно, относится к теории алгебраических чисел, которую предстояло развить независимо друг от друга Куммеру, Дедекинду и Кронекеру⁵. Но теория, которую держал в памяти Гаусс, является, заявляет он, одной из тех вещей, где невозможно предвидеть, какой прогресс будет сделан к отдаленной цели, которая лишь тускло видна сквозь мрак. Для успеха в таком трудном исследовании должна взойти чья-либо счастливая звезда, а обстоятельства у Гаусса теперь таковы, что из-за множества отвлекающих занятий он не может посвятить себя тем размышлениям, в какие он погружался «в счастливые 1796 — 1798 годы, когда у меня сформировались главные положения 193  «Арифметических исследований». Я по-прежнему убежден, что если я настолько счастлив, что смею надеяться, и если я преуспею в свершении некоторых принципиальных шагов в такой теории, то тогда теорема Ферма появится как лишь одно из наименее интересных следствий».

Вероятно, все математики теперь сожалеют, что Гаусс был отклонен от шествия сквозь мрак «парой глыб грязи, которые мы называем планетами» (его собственные слова), засверкавших неожиданно в ночном небе и сбивших его с пути. Менее значительные, чем Гаусс, математики, например Лаплас, могли бы сделать все, что сделал Гаусс в вычислении орбит Цереры и Паллады, даже если задача была того типа, о которых Ньютон говорил, что они относятся к труднейшим в математической астрономии. Однако блестящий успех Гаусса в этих вопросах принес ему немедленное признание первым математиком Европы и благодаря этому обеспечил ему уютное положение, в котором он мог сравнительно спокойно работать в конце концов; глыбы грязи, возможно, стали в итоге счастливыми звездами.

Второй большой период деятельности Гаусса начался в первый день XIX столетия — красный день истории философии и истории астрономии. С 1781 г., когда сэр Вильям Гершель (1738 — 1822) открыл планету Уран, доведя таким образом число известных тогда планет до удовлетворявшего философов числа 7, астрономы прилежно исследовали небеса в поисках следующих членов солнечной семьи, которые, согласно закону Боде, ожидались между орбитами Марса и Юпитера. Поиски были бесплодными, пока Джузеппе Пияцци (1746 — 1826) из Палермо в первый день XIX в. не заметил объект, который вскоре был признан новой планетой, позже названной Церерой, первой в семействе малых планет, известных теперь.

Крайне удивительно, что открытие Цереры совпало по времени с публикацией знаменитым философом Гегелем (1770 — 1831) саркастической нападки на астрономов, осмелившихся искать восьмую планету. Если бы они уделяли внимание философии, утверждал Гегель, они должны были бы сразу уяснить, что планет может быть ровно семь, не больше и не меньше. Их поиски поэтому являются глупой тратой времени. Несомненно, ученики Гегеля сносно объяснили этот досадный промах с его стороны, но они все еще не высказались о сотнях других малых планет, которые высмеивают запрет, указанный их Юпитером.

Здесь будет интересно процитировать мнение Гаусса о философах, занимающихся вопросами естествознания, которых они не поняли. Оно, в частности, остается в силе для тех философов, которые долбят основания математики, не заострив предварительно свои тупые клювы на каких-либо трудных вопросах математики. С другой стороны, оно указывает, почему Бертран А. В. Рассел (1872–1970), Альфред Норт Уайтхед (1861–1947) и Давид Гильберт 194  (1862–1943) в свое время внесли столь большой вклад в философию математики — это ученые-математики⁶.

В письме своему другу Шумахеру от 1 ноября 1844 г. Гаусс говорит: «Вы видите одну и ту же вещь [математическую некомпетентность] у современных философов — Шеллинга, Гегеля, Неес фон Ессенбека и их последователей; разве ваши волосы не встают дыбом от их определений? Но даже с самим Кантом часто дело обстоит ненамного лучше; по моему мнению, его различение аналитических и синтетических утверждений является одной из тех вещей, которые либо сводятся к тривиальности, либо являются ложными». Когда это писалось, Гаусс уже давно владел неевклидовой геометрией, которая сама по себе является достаточным опровержением некоторых утверждений Канта о «пространстве» и геометрии, и он мог невольно высказываться презрительно.

Из одного этого примера, касающегося чисто математических тонкостей, не следует делать заключение, что Гаусс не ценил философию. Наоборот. Все философские достижения производили на него большое впечатление, хотя он часто не одобрял средства, которыми они были достигнуты. «Существуют проблемы, — сказал он однажды, — решению которых я придал бы неизмеримо большее значение, чем решению проблем математики, например касающиеся этики или нашего отношения к богу, нашей судьбы и нашего будущего; но их решение нам не по силам, и оно полностью лежит за пределами естествознания».

Церера была для математики бедствием. Чтобы понять, почему она была принята Гауссом с такой опустошающей серьезностью, надо вспомнить, что колоссальная фигура Ньютона, который умер более 70 лет до этого, все еще маячила над математикой в 1801 г. «Великими» математиками того времени были те, кто, подобно Лапласу, трудились над завершением ньютоновского здания небесной механики. Математика все еще смешивалась с математической физикой — такой, какой она была тогда, — и математической астрономией. Взгляд на математику как на самостоятельную науку, присущий Архимеду в III столетии до н. э., был утерян в блеске ньютоновского великолепия. Так было до тех пор, пока юный Гаусс не уяснил, что математика была признана как наука, первым долгом которой является заниматься собственными проблемами. Однако Церера соблазнила беспримерный ум Гаусса, когда ему было 24 года, как раз в тот момент, когда он был готов сделать большой шаг в нехоженые дебри, которым предстояло стать просторами современной математики.

Мы должны бранить не только Цереру. Великолепный дар в устных вычислениях, которые привели к эмпирическим открытиям, породившим математику «Арифметических исследований», также играл фатальную роль в трагедии. Друзья Гаусса, а также его отец, потеряв терпение ждать, когда он займет какой-нибудь доходный 195  пост, не имея понятия о сути той работы, которая сделала Гаусса молчаливым затворником, думали, что он помешался. Теперь, на заре нового столетия, удобный случай, которого недоставало Гауссу, был навязан ему.

Новая планета была открыта в таком положении, которое было чрезвычайно трудным для наблюдений за ней. Вычислить орбиту по скудным имевшимся данным было задачей, которую мог бы одолеть сам Лаплас. Ньютон заявлял, что такие задачи относятся к наиболее трудным в математической астрономии. Одни только вычисления, необходимые для установления орбиты с точностью, достаточной, чтобы увериться, что Церера при вращении вокруг Солнца не будет утеряна для телескопов, могли бы извести электромеханическую счетную машину даже теперь. Но для молодого человека с непостижимой памятью, позволявшей ему обходиться без таблицы логарифмов, когда ему было трудно или лень достать ее, вся эта бесконечная арифметика — логистика, не арифметика — была детским развлечением.

Почему не дать волю милой страсти повычислять так, как никогда не вычислял раньше, продолжить определение трудной орбиты к искреннему восхищению и удивлению законодателей математической моды и таким образом сделать возможным для терпеливых астрономов год спустя снова обнаружить Цереру в том самом месте, где ньютоновский закон всемирного тяготения предписывает ей быть найденной, если этот закон действительно есть закон природы? Почему бы не сделать все это, повернувшись спиной к не имевшему существенного значения взгляду Архимеда и забыть свои собственные непревзойденные открытия, которые ждут дальнейшего развития, сохраняясь в дневнике? Короче, почему бы не стать популярным? Почет, признание, включение в «великие» математики в общепринятом в то время смысле и, вероятно, следующая за этим финансовая независимость — все это было теперь для него легко достижимым. Гаусс, математический бог всех времен, протянул руку и сорвал искушавший его плод дешевой славы.

Почти 20 лет возвышенные мечты, беглые наброски которых Гаусс юношей занес в свой дневник с необузданной радостью, лежали заброшенными, но все же не забытыми. Церера была переоткрыта точно в том месте, которое предсказали изумительно искусные подробные вычисления молодого Гаусса. Вскоре неугомонными телескопами были пойманы, вопреки Гегелю, Паллада, Веста и Юнона — младшие сестры маленькой Цереры, и их орбиты также оказались в согласии с вдохновенными вычислениями Гаусса. Вычисления, для выполнения которых Эйлеру потребовалось бы три дня и одно из которых якобы привело его к слепоте, теперь стали простыми упражнениями на несколько часов. Гаусс указал метод, и дело стало рутинным. В течение почти 20 лет большую часть своего времени он посвящал астрономическим вычислениям.

Но даже такая убийственная работа не могла стерилизировать творческий гений Гаусса. В 1809 г. он опубликовал свой второй 196  шедевр — «Теория движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям», в котором исчерпывающее рассмотрение определения планетных и кометных орбит по данным наблюдений, включая трудный анализ возмущений, стало основой канона, который многие годы господствовал в вычислительной и практической астрономии. Это был великий труд, но не такой великий, какой Гаусс легко мог создать, развив наметки, содержавшиеся в его дневнике. Никакого существенно нового математического открытия «Теория движения» не включала.

Признание пришло с показательной быстротой после переоткрытия Цереры. Лаплас сразу приветствовал молодого математика как равного себе, а вскоре — как превзошедшего его. Немного позже, когда Александр фон Гумбольдт (1769 — 1859) — знаменитый путешественник и любитель наук — спросил Лапласа, кто является величайшим математиком Германии, Лаплас ответил: «Пфафф». — «А как же с Гауссом?» — удивился Гумбольдт. — «О, — сказал Лаплас, — Гаусс — это величайший математик мира».

Десятилетие, последовавшее за эпизодом с Церерой, принесло Гауссу много счастья и много печали. Даже в этот ранний период его деятельности нашлись люди, умалявшие его успехи. Лица с положением, привлекавшие внимание образованной публики, осмеивали 24-летнего молодого человека за напрасную трату времени на такое бесполезное занятие, как вычисление орбиты малой планеты. Они так же осмеивали Гаусса 30 лет спустя, когда он заложил основы математической теории электромагнетизма и изобрел электрический телеграф. Гаусс позволял им получать удовольствие от своих острот. Он никогда не отвечал им публично, но в частном порядке выражал сожаление, что почтенные люди и жрецы науки могут так мелочно унижаться. Тем временем Гаусс продолжал свою работу, благодарный научным обществам Европы за воздаваемые ему почести, но не отклоняясь от выбранного пути.

Герцог Брауншвейгский увеличил содержание молодого ученого и тем самым сделал возможным его брак. Он женился 9 октября 1805 г. в возрасте 28 лет на Иоганне Остхоф из Брауншвейга. В письме давнему университетскому другу Вольфгангу Бойяи через три дня после обручения Гаусс изливает переполнявшее его счастье: «Жизнь предстает передо мной как вечная весна, в новых, ярчайших красках».

От этого брака родилось трое детей. Иоганна умерла 11 октября 1809 г., оставив Гаусса безутешным. Его вечная весна обратилась в зиму. Хотя Гаусс в следующем году (4 августа 1810 г.) снова женился ради своих маленьких детей, долгое время он не мог без глубокого чувства говорить о своей первой супруге. От второй жены, Минны Вальдек, которая была близкой подругой первой, он имел двух сыновей и дочь.

В 1808 г. умер отец Гаусса. Двумя годами раньше Гаусс испытал еще более тяжкую потерю: при трагических обстоятельствах 197  умер его благодетель — герцог. Как и Декарт, в раннем детстве Гаусс испытал страх смерти, и всю жизнь потеря близких друзей наполняла его душу гнетущим чувством.

Теперь, когда умер его великодушный патрон, Гаусс должен был найти какой-то надежный способ для обеспечения содержания семьи. Он не встретил в этом трудностей, так как слава его распространилась уже по всей Европе. Петербург закинул удочку: не хочет ли Гаусс стать преемником Эйлера, которому еще не было достойной замены после его смерти в 1783 г. В 1807 г. Гауссу было сделано более определенное лестное предложение. Александр фон Гумбольдт и другие влиятельные друзья, не желая, чтобы Германия теряла величайшего математика мира, взялись за дело, и Гаусс был назначен директором Гёттингенской обсерватории с привилегией (или обязанностью, если угодно) читать лекции по математике студентам университета.

Несомненно, Гаусс мог получить профессуру по математике, но он предпочел обсерваторию, так как это создавало лучшие перспективы для непрерывных научных исследований; хотя, может быть, было бы слишком сильно сказать, что Гаусс ненавидел преподавание, но натаскивание заурядных студентов не приносило ему удовольствия, и, лишь когда его находил истинный математик, Гаусс, сидя у стола вместе со своими студентами, разрешал ему войти и раскрывал секреты своих методов в прекрасно подготовленных лекциях. Но это, к сожалению, случалось очень редко, и большинству студентов, на которых Гаусс тратил свое бесценное время, следовало бы заниматься не математикой, а чем-нибудь другим. В письме 1810 г. своему близкому другу, астроному и математику Фридриху Вильгельму Бесселю (1784 — 1846), Гаусс сообщает: «Этой зимой я читал два курса лекций трем студентам, из которых один обладает средними знаниями, другой — менее, чем средними, а третий лишен и знаний и способностей. Таковы тяготы профессии математика».

Жалованье, которое Гёттинген мог выплачивать Гауссу, было скромным, но достаточным для удовлетворения нехитрых потребностей Гаусса и его семьи.

Но если Гаусс был простым и бережливым, то вторгшиеся в 1807 г. в Германию французы были еще проще и бережливее. Они наложили на побежденных громадную контрибуцию. Завоеватели сочли, что профессор астрономии Геттингена вполне может внести 2000 франков в военную кассу Наполеона. Эта несоразмерная сумма далеко превосходила возможности Гаусса.

Вскоре Гаусс получил письмо от своего друга, астронома Оль-берса, в которое была вложена указанная сумма побора — налога. Гаусс отказался принять деньги и сразу же отослал их обратно.

Вскоре он получил небольшую дружескую записку от Лапласа, в которой сообщалось, что знаменитый французский математик уплатил 2000 франков налога за величайшего математика мира и счел для себя честью оказаться способным снять с плеч 198  друга незаслуженное бремя. Поскольку Лаплас оплатил налог в Париже, Гаусс не мог вернуть ему деньги. Тем не менее он отклонил помощь Лапласа. Неожиданная и непрошенная удача вскоре позволила ему выплатить долг Лапласу с процентами. Стало известно, что Гаусс с презрением отнесся к милостыне, и какой-то его почитатель из Франкфурта анонимно прислал ему 1000 гульденов. Так как Гаусс не мог выявить пославшего, он оказался вынужденным принять дар.

Смерть герцога, скверное положение дел в Германии, разграб-ливаемой французами, финансовые затруднения, потеря первой жены — все это сказалось на здоровье Гаусса и сделало его жизнь несчастной в 30 лет с небольшим. Наследственное предрасположение к ипохондрии, усуглубленное непрестанным переутомлением, не улучшало дела. Он никогда не делился своими горестями с друзьями, для которых он всегда безмятежный корреспондент, но он доверился — только однажды — одной своей личной математической рукописи. После своего назначения директором обсерватории в Гёттингене в 1807 г. Гаусс в течение трех лет иногда возвращался к одной из самых великих вещей, отмеченных в его дневнике. В рукописи по эллиптическим функциям чисто научные рассуждения внезапно прерываются тщательно выписанными карандашом словами: «Смерть милее мне, чем такая жизнь». Его лекарством стала работа.

Годы 1811 — 1812 (Гауссу в 1811 г. было 34 года) были более светлыми. С новой женой, заботившейся о его маленьких детях, он стал обретать некоторый покой. Затем Гаусс впервые наблюдал в глубоких сумерках вечером 22 августа большую комету 1811 г., вспыхнувшую неожиданно. Она оказалась достойным противником в проверке оружия, изобретенного Гауссом для покорения малых планет.

Оружие оказалось соответствующим требованиям. Пока суеверные народы Европы с благоговейным трепетом следили за ярким зрелищем, Гаусс с удовлетворением смотрел на комету, точно следовавшую по пути, быстро рассчитанному им для нее. Доставляет удовлетворение отметить то, что Гаусс был слишком горд, чтобы унизить математику перед Наполеоном Великим, взывая к тщеславию императора и упрашивая его во имя его пресловутого уважения ко всему математическому уменьшить налог в 2000 франков, что Гаусса побуждали сделать некоторые заблуждавшиеся друзья. Гаусс чувствовал, что и ему самому и математике, которую он почитал, будет лучше обойтись без снисхождения Наполеона.

Не считая довольно поверхностного понимания ценности математики для военного дела, Наполеон не имел никакого представления о той математике, которой занимались ученые такого ранга, как его современники Лагранж, Лаплас и прежде всего Гаусс. Быстро изучив в школе обычную элементарную математику, Наполеон слишком рано обратился к другим вещам, чтобы подтвердить свои надежды, и так и не созрел как математик. Хотя кажется невероятным, 199  чтобы человек со способностями, проявленными Наполеоном, мог столь явно недооценивать трудность предметов, лежащих за пределами его понимания, чтобы свысока относиться к Лапласу, остается фактом, что со смехотворной смелостью он заверял автора «Небесной механики», что прочел бы его книгу в течение первого свободного месяца, который представился бы ему. Ньютону и Гауссу задание было бы впору; Наполеон же, несомненно, мог перелистать за месяц страницы книги Лапласа, не очень утомляя себя.

Невозможно найти более резкой противоположности между математиком и военным гением, чем та, которую доставляет их соответствующее отношение к сломленному противнику. Наполеон вульгарно и с ненужной грубостью обошелся с побежденным герцогом. Когда же пал Наполеон, Гаусс не стал ликовать. Спокойно, с беспристрастным интересом он читал все, что мог найти о жизни Наполеона, и поступал наилучшим образом, чтобы понять дела умов, подобных наполеоновскому. Его усилия в этом доставляли ему даже значительное развлечение. Гаусс обладал острым чувством юмора и грубоватым реализмом, унаследованными от его предков, тружеников-крестьян, что также позволяло ему легко пренебрегать героикой.

1811 год, возможно, был вехой в математике, сравнимой с вехой 1801 г. — появлением «Арифметических исследований»: Гаусс сообщил публично о своем открытии, в которое ранее посвятил Бесселя. Основательно поняв комплексные числа и их геометрическое представление как точек плоскости в аналитической геометрии, Гаусс предложил себе проблему исследования того, что теперь называется аналитическими функциями комплексной переменной. Комплексное число х + iy, где i обозначает]/ — 1, представляет собой точку с декартовыми координатами (х, у). Обозначим х + iy для краткости одной буквой г. Когда х и у независимо принимают действительные значения каким-нибудь предписанным непрерывным способом, точка г перемещается по плоскости, очевидно, не наугад, а способом, определяемым тем, как х и у предписываются их значения. Всякое выражение, содержащее z, скажем z², — и так далее, принимающее единственное определенное значение для каждого предписанного значения г, называется однозначной функцией z. Будем обозначать такую функцию символом / (г). Так, если f(z) есть, в частности, функция z², так что

(так как i² = –1), то ясно, что если г, т. е. х + iy, приписывается какое-нибудь значение, например х = 2, у = 3, так что z = 2+Зг, то тем самым определяется точно одно значение функции /(г); в данном случае при z = 2 + 3£ ïолучаем г² = — 5 -f 12/.

Не все однозначные функции f(z) изучаются в теории функций 200  комплексной переменной: для исчерпывающего рассмотрения отбираются моногенные функции. Оправдание этого будет изложено после того, как мы опишем, что означает такой термин.

Пусть z движется к другому положению, скажем к г'. Функция / (г) при этом принимает X' ° X другое значение / (г'), получаемое подстановкой вместо z значения г''. Разность f (/) — / (г), нового и старого значений функции теперь поделим на разность нового и старого значений переменной z и получим выражение , затем точно так же, как это делалось при вычислении наклона графика, чтобы найти производную функции, представляемой графиком, пусть здесь г' неограниченно приближается к г. Однако при этом появляется замечательное новое явление.

Здесь имеется не один путь, по которому z' может двигаться до совпадения с z; г' может странствовать по всей плоскости комплексных чисел по любому из бесконечного множества различных путей, прежде чем совпадет с г. Нельзя ожидать, что предельное значение отношения -^ — — , когда z' совпадает с z, будет одним и тем же для всех этих путей; в общем случае этого нет. Но если f (z) такова, что только что описанное предельное значение является одним и тем же для всех путей, по которым движется z' до совпадения с г, тогда говорят, что / (г) моногенна в z (или в точке, представляющей г). Однозначность, описанная выше, и моногенность являются отличительными свойствами аналитических функций комплексной переменной.

Некоторое представление о важности аналитических функций можно получить из того факта, что обширные трактаты по теории движения жидкостей (а также по математическим основам учения об электричестве и о построении карт, в которых не искажаются углы) естественно базируются на теории аналитических функций комплексной переменной. Предположим теперь, что в такой функции / (z) выделена ее «действительная» часть (та, которая не содержит мнимой единицы i) и ее «мнимая» часть; скажем, / (г) = = U + iV. В частности, для аналитической функции г² имеем U = х² — у², V = 2ху. Вообразим слой жидкости, текущей по плоскости. Если движение жидкости происходит без завихрений, его линии тока находятся с помощью некоторой аналитической функции f (г) путем вычерчивания кривых U = а, где а — любое Действительное число, а эквипотенциальные линии подобным же образом — как кривые V = b (b ^ — любое действительное число). Для заданного состояния, скажем для жидкости, обтекающей 201  препятствие, трудность задачи состоит в том, чтобы найти, какую следует выбрать аналитическую функцию для этого. Весь вопрос большей частью решали обратным путем: изучали простые аналитические функции и выискивали физические задачи, которым они соответствуют. Довольно любопытно, что многие из этих искусственно заготовленных задач сослужили величайшую службу в аэродинамике и в других практических применениях теории движения жидкости⁷.

Теория аналитических функций комплексной переменной была одной из важнейших областей торжества математики в XIX в. Гаусс в письме к Бесселю излагает то, что равнозначно основной теореме этой обширной теории, но он скрыл это, и теорема была переоткрыта Коши и позже Вейерштрассом. Поскольку она является вехой в истории математического анализа, мы кратко охарактеризуем ее, опуская все уточнения, которые потребовались бы при строгой формулировке.

Представим, что комплексная переменная z движется по замкнутой кривой конечной длины без самопересечений. Мы имеем интуитивное понятие о том, что подразумеваем под «длиной» части такой кривой. Пометим на кривой п точек Р_ъ Р₂, P_s, ..., Р_п так, чтобы длина каждой из дуг Р_г Р₂, PoP_s, P₃Pi, ■■■, Р_п Р\ не превышала некоторой предписанной конечной длины /. На каждой из дуг выберем точку (только не на ее концах), найдем значение функции / (z) при значении г, соот-/ ветствующем этой точке, и умножим это значение на длину дуги, на которой лежит точка. То же сделаем для всех дуг и сложим результаты. Наконец, найдем предел этой суммы, когда число дуг ^Гп~¹ неограниченно возрастает⁸. Это дает криволинейный интеграл от / (г) вдоль данной кривой.

Когда этот криволинейный интеграл будет равен нулю? Для того чтобы криволинейный интеграл был равен нулю, достаточно, чтобы функция / (z) была аналитической (однозначной и моноген-ной) в каждой точке z рассматриваемой кривой и внутри ее. Это и есть великая теорема, которую Гаусс сообщил Бесселю в 1811 г. 202  и которой вместе с другой теоремой подобного типа в руках независимо переоткрывшего ее Коши предстояло произвести в качестве следствий многие важные результаты анализа.

Астрономия не поглощала всей огромной энергии Гаусса в его 35 лет. 1812 год, который видел безнадежные арьергардные бои великой армии Наполеона, был также свидетелем опубликования другого выдающегося труда Гаусса — его исследования о гипергеометрическом ряде

с ^ с(с + 1)  1 ■ 2  " '

где многоточие означает, что ряд продолжается бесконечно по тому же закону; следующим членом является

а (а + 1) (а + 2) b (b + 1) (b + 2) ^ с(с + 1)(с+2)  1  2- 3

Этот мемуар тоже явился вехой. Как уже было отмечено, Гаусс был первым из современных ригористов. В своем труде он определил ограничения, которые нужно наложить на числа а, Ь, с, х, чтобы этот ряд сходился (в объясненном раньше в этой главе смысле). Этот ряд сам по себе уже не был лишь упражнением для учебника, которое можно выполнить для достижения ловкости в аналитических преобразованиях и затем забыть. Он включает в качестве частных случаев, получаемых при определенных особых значениях одной или нескольких из величин а, Ь, с, х, многие из наиболее важных в анализе рядов, например те, с помощью которых вычисляются и табулируются логарифмы, тригонометрические функции и несколько функций, которые неоднократно внезапно появляются в ньютоновской астрономии и математической физике; общая биномиальная теорема также является здесь частным случаем. Располагая этим рядом в его общем виде, Гаусс одним ударом сокрушил многое. Этот труд послужил развитию в XIX в. многих приложений к дифференциальным уравнениям физики.

Выбор такого исследования для серьезных усилий характерен для Гаусса. Он никогда не печатал тривиальных вещей. Когда он издавал что-то, оно было не только законченным само по себе, но также настолько переполнено идеями, что его последователи получали возможность применять то, что изобрел Гаусс, к новым проблемам. Хотя ограничения по объему книги запрещают обсуждение многих примеров такого фундаментального характера вкладов Гаусса в чистую математику, один из них не может быть обойден молчанием даже в самом коротком очерке — это труд о законе би-квадратичной взаимности. Значение его в том, что он придал новое и совершенно непредвиденное направление высшей арифметике.

После установления квадратичной (второй степени) взаимности для Гаусса было естественным рассмотреть общий вопрос о двучленных сравнениях любой степени. Если т — данное целое число, не 203  делящееся на простое число р, п — данное положительное целое и если далее можно найти такое целое число х, что х" = т (mod p), то т называется п-ичным вычетом р\ когда п — 4, т называется биквадратичным вычетом р.

Случай квадратичных двучленных сравнений (п = 2) мало что говорит о том, что делать, когда п больше 2. Одним из вопросов, которые Гаусс должен был включить в опущенный восьмой отдел (или, возможно, как он сообщал Софи Жермен, в задуманный, но неосуществленный второй том) «Арифметических исследований», было рассмотрение сравнений высших степеней и поиски соответствующих законов взаимности, именно взаимосвязей (в отношении разрешимости или неразрешимости) пар сравнений х" = p (mod q) и х" = q (mod р), где р и q — простые числа. В частности, должны были исследоваться случаи п = 3 и п = 4.

Статья 1825 г. распахивает целину со всей смелостью великих пионеров. После многих неудачных попыток, ведших к необозримой сложности, Гаусс нашел «естественный» путь к сердцу проблемы. Рациональные целые числа 1, 2, 3, ... не являются подходящими для формулировки закона биквадратичной взаимности, какими они являются для закона квадратичной взаимности; должен быть изобретен совершенно новый вид целых чисел. Они называются гауссовыми комплексными целыми числами. Это все комплексные числа вида а + bi, где а и Ъ — рациональные целые числа.

Чтобы установить закон биквадратичной взаимности, необходимо исчерпывающее предварительное рассмотрение законов арифметической делимости для таких комплексных целых чисел. Гаусс дал его и тем самым положил начало теории алгебраических чисел — той теории, которую он, вероятно, имел в виду, когда давал свою оценку Последней теореме Ферма. Для кубичной взаимности (п = 3) он также нашел правильный путь подобным образом. Его работа об этом была обнаружена в его посмертных бумагах.

Кубичной взаимностью располагал любимый ученик Гаусса — Эйзенштейн. Он же обнаружил удивительную связь между законом биквадратичной взаимности и некоторыми частями теории эллиптических функций, в которой Гаусс продвинулся далеко, но воздержался раскрыть то, что нашел.

Гауссовы комплексные целые числа являются, конечно, подклассом всех комплексных чисел, и можно было бы подумать, что алгебраическая теория всех чисел даст арифметическую теорию включенных в них целых чисел, как тривиальный частный случай. На самом деле это не так. По сравнению с арифметической теорией алгебраическая теория — детская игрушка. Возможная причина этого подсказывается рассмотрением рациональных чисел (чисел вида — , где а и b — рациональные целые числа). Мы можем всегда разделить одно рациональное число на другое и получить еще одно рациональное число: — , деленное на — , дает рациональное число — .  204  Но рациональное целое число, деленное на другое такое число, не всегда является рациональным целым числом: 7, деленное на 8, дает — . Следовательно, если мы должны ограничиться целыми числами, что представляет интерес для теории чисел, мы связываем себя по рукам и ногам еще до того, как начинаем действовать. В этом одна из причин, почему высшая арифметика труднее алгебры, высшей или элементарной.

В равной степени важные продвижения были сделаны Гауссом также в геометрии и приложениях математики к геодезии, ньютоновой теории тяготения и электромагнетизму. Как мог один человек выполнить эту колоссальную массу работы высшего порядка? С характерной для него скромностью Гаусс заявлял: «Если бы другие размышляли о математических истинах так глубоко и постоянно, как это делаю я, они пришли бы к моим открытиям». Возможно, объяснение Гаусса напоминает ньютоново. Когда его спросили, как он сделал открытия в астрономии, превосходящие открытия всех своих предшественников, Ньютон ответил: «Всегда думая о них».

Частично загадка Гаусса объясняется непроизвольной поглощенностью математическими идеями, что само, конечно, требует объяснения. Юношей Гаусс был «охвачен» математикой. Разговаривая с друзьями, он внезапно на ходу замолкал, поглощенный неконтролируемыми им мыслями, и останавливался, пристально глядя и забыв об окружающих. Позднее он овладевал своими мыслями и сознательно направлял всю свою энергию на одоление трудности, пока не побеждал ее. Взявшись раз за задачу, он никогда не оставлял ее, пока не одолевал, хотя в поле его внимания могло одновременно находиться несколько задач.

В одном таком случае («Исследования», с. 636) он рассказывает, как в течение 4 лет вряд ли проходила неделя, чтобы он не тратил некоторого времени, пытаясь установить, будет ли некий знак плюсом или минусом. Наконец, решение пришло само по себе в один миг. Однако представлять, что «озарение» появится само по себе, подобно новой звезде, — без изнурительных часов, — это значит полностью упустить суть дела. Часто бесплодно проводя дни или недели над каким-нибудь исследованием, Гаусс приходил к законченному труду после бессонной ночи, устранявшей неясности, и все решение ярко сияло в его уме. Способность к напряженному, длительному сосредоточению была одним из его секретов.

В способности забывать о себе в мире своих мыслей Гаусс имеет сходство и с Архимедом и с Ньютоном. Еще в двух отношениях он также достигал их уровня — в своих дарованиях к точным наблюдениям и в своей искусной изобретательности, что позволило ему самому создавать инструменты, необходимые для научных исследований в геодезии, астрономии, теории электромагнетизма. В качестве примера его технической изобретательности можно 205  упомянуть, что в 1833 г. он пришел к открытию электрического телеграфа и что он и его сотрудник Вильгельм Вебер (1804 — 1891) применяли этот телеграф как само собой разумеющееся средство для передачи сообщений. Такое сочетание математического гения с первоклассными экспериментальными способностями является одним из редчайших во всех естественных науках.

Сам Гаусс мало заботился о возможных применениях его изобретений. Как и Архимед, он предпочитал математику всем земным царствам, предоставляя другим собирать осязаемые плоды его трудов. Но Вебер, его сотрудник по фундаментальным исследованиям электромагнетизма, отчетливо понимал, каково значение слабого маленького телеграфа в Гёттингене для цивилизации. «Когда земной шар покроется сетью железных дорог и телеграфных проводов, — пророчествовал Вебер в 1835 г., — эти сети сослужат службу, сравнимую с деятельностью нервной системы человеческого тела, частично как транспортные средства, частично как средства распространения идей и новостей со скоростью света».

Восхищение Гаусса Ньютоном уже отмечалось. Зная, каких колоссальных усилий стоили ему некоторые его собственные шедевры, Гаусс отдавал должное длительной подготовке и постоянному размышлению, которые привели к величайшему труду Ньютона. Легенда о Ньютоне и падающем яблоке вызывала у Гаусса негодование. К теории гравитационного поля Эйнштейна так же привел напряженный труд, затраченный им в течение⁷ нескольких лет на овладение тензорным исчислением двух итальянских математиков — Риччи и Леви-Чивита, самих по себе учеников Римана и Кристоф-феля, которые оба, в свою очередь, вдохновлялись геометрическими трудами Гаусса.

Толкуя об Архимеде, к которому он также питал безграничное восхищение, Гаусс заметил, что он не мог понять, как Архимед упустил изобретение десятичной системы счисления⁹ или эквивалентной ей с основанием, отличным от 10. Совершенно не греческий по своему духу труд Архимеда, содержавший изобретенную им систему записи и обращения с числами, далеко выходящими за пределы возможностей греческого способа обозначений чисел, предоставил (согласно Гауссу) в руки Архимеда десятичную систему записи с ее всеважнейшим принципом поместного значения (325 = 3  10² + 2 ■ 10 + 5). Этот недосмотр Архимеда Гаусс считал величайшим несчастьем в истории науки. «До каких высот поднялась бы теперь наука, если бы Архимед сделал это открытие!» — восклицал он, думая о массе своих собственных арифметических и астрономических вычислений, которые были бы невозможными, даже для него, без десятичной системы записи. Полностью понимая значение для всех наук улучшенных методов вычислений, Гаусс, как раб, трудился над своими собственными вычислениями, пока страницы цифр не сводились до нескольких строк, которые 206  могли быть восприняты почти сразу. Сам он многое в своих вычислениях делал в уме; усовершенствования предназначены для тех, кто менее одарен, чем он.

В отличие от Ньютона в его поздних летах, Гаусса никогда не привлекали вознаграждения по официальной службе, хотя его острый интерес и проницательность во всех вопросах, имеющих отношение к статистике, страхованию и «политической арифметике», сделали бы его хорошим министром финансов. До своей последней болезни он находил полное удовлетворение в науке и в простых развлечениях. Чтение в широком объеме европейской литературы и классиков античности, критический интерес к мировой политике и овладение в совершенстве иностранными языками и новыми науками (включая ботанику и минералогию), являлись занятиями Гаусса на досуге.

Его особенно привлекала английская литература, хотя ее более мрачные аспекты, как в шекспировских трагедиях, были слишком обильными для обостренной чувствительности великого математика ко всем видам страданий, и он предпочитал более светлые и радостные шедевры. Он читал романы Вальтера Скотта (который был современником Гаусса), как только они выходили в свет. Исторические труды на английском языке доставляли ему особое удовольствие. К своему блистательному молодому современнику, лорду Байрону, Гаусс питал почти неприязнь. В отношении литературы своей собственной страны вкусы Гаусса были несколько необычными для интеллигентного немца. Жан Поль был его любимым немецким поэтом; Гёте и Шиллер, чьи жизни частично пересекались с его жизнью, оценивались им не очень высоко.

Способность, с которой Гаусс овладевал в юности языками, сохранилась у него на всю жизнь. Языки были для него чем-то большим, чем занятиями на досуге. Чтобы испытать гибкость своего ума, по мере того как он становился старше, Гаусс умышленно овладевал новым языком. Такое упражнение, полагал он, помогает ему сохранить свой ум молодым. В возрасте 62 лет он начал интенсивно изучать русский язык без чьей-либо помощи¹⁰. Через два года он бегло читал русскую прозу и поэтические сочинения и вел переписку со своими петербургскими друзьями среди ученых полностью на русском языке. По мнению русских, навещавших его в Гёттингене, он также прекрасно говорил по-русски. Русскую литературу он ставил наравне с английской по удовольствию, которое она ему доставляла.

Его третье хобби, мировая политика, поглощало каждый день примерно час. Регулярно посещая литературный музей, он был в курсе событий — читал все газеты, которые приходили в музей.

Интеллектуальный аристократ в политике, Гаусс был вполне консервативен, но никак не реакционер. Его время было бурным 207  и в родной стране и за границей. Власть толпы и акты политического насилия вызывали в нем, как сообщает его друг фон Валь-терсхаузен, «неописуемый ужас». Парижская революция 1848 г. наполнила его страхом. Если бы в Германии вспыхнула гражданская война, говорил Гаусс, он сразу же умер бы. Чужеземное завоевание, на манер великого наполеоновского, он рассматривал, как непостижимое безумие.

Эти консервативные чувства не были тоской по родине реакционера, который предлагает миру пренебречь законами небесной механики и остановиться в поднебесье мертвого и неизменяющегося прошлого. Гаусс верил в реформы, когда они были умными.

Его более прогрессивные друзья приписывали консерватизм Гаусса замкнутости, с которой он оставался верным своему труду. В этом, возможно, есть нечто стоящее. В течение последних двадцати семи лет своей жизни Гаусс спал вне своей обсерватории только один раз, когда присутствовал на научном собрании в Берлине, чтобы угодить Александру фон Гумбольдту, который хотел порисоваться им. Гаусс жил дома, читал, не верил большинству из того, что читал, размышлял и познавал правду.

Другим источником силы Гаусса была его научная скромность и отсутствие личного честолюбия. Все его честолюбие было направлено на продвижение математики. Когда соперники ставили под сомнение его утверждение, что он опередил их, Гаусс не выставлял свой дневник, чтобы доказать свой приоритет, а предоставлял своему утверждению требовать уважения к его собственным достоинствам.

Лежандр был самым многоречивым из таких сомневающихся. Один случай сделал его врагом Гаусса на всю жизнь. В «Теории движения» Гаусс сослался на открытый им ранее метод наименьших квадратов. Лежандр опубликовал этот метод в 1806 г., раньше Гаусса. С большим возмущением он написал Гауссу письмо, фактически обвиняя его в нечестности и выражая недовольство тем, что Гаусс, столь богатый в открытиях, мог бы быть настолько порядочным, чтобы не присваивать себе метод наименьших квадратов, который Лежандр считал своим собственным детищем. В спор вступил Лаплас. Гаусс, по-видимому, считал ниже своего достоинства обсуждать вопрос дальше. Но в письме другу он указывает свидетельство, которое могло бы завершить спор тотчас же, если бы Гаусс не был «слишком гордым, чтобы бороться». «Я все сообщил Ольберсу в 1802 г.», — заявил он, и, если Лежандр был склонен сомневаться в этом, он мог бы спросить Ольберса, который имел рукопись.

Спор был крайне неуместным для последующего развития математики, так как Лежандр сообщил о своих неоправданных подозрениях Якоби и тем самым помешал этому блестящему молодому творцу теории эллиптических функций¹¹ войти в сердечные отношения 208  с Гауссом. Размолвка была тем более прискорбной, что Ле-жандр был человеком самого возвышенного характера и скрупулезно честным. Ему было суждено быть превзойденным обладавшими более богатым воображением, чем он, математиками в областях, в которых он тяжело трудился большую часть своей долгой трудолюбивой жизни, что, как показали более молодые ученые — Гаусс, Абель и Якоби, — было излишним. На каждом шагу Гаусс далеко опережал Лежандра. Тем не менее, когда Лежандр обвинил Гаусса в нечестном поступке, тот почувствовал, что сам покинут в беде. В письме Шумахеру (30 июля 1806 г.) он жалуется: «Кажется, моя судьба — конкурировать почти во всех своих теоретических работах с Лежандром. Так обстоит дело в высшей арифметике, в исследованиях трансцендентных функций, связанных со спрямлением [процессом нахождения длины дуги кривой) эллипса, в основаниях геометрии и теперь снова в методе наименьших квадратов, который... использован также в работе Лежандра и действительно по справедливости любовно завершен».

После опубликования с подробностями посмертных бумаг Гаусса и многого из его переписки последних лет, все эти старые споры раз и навсегда были разрешены в пользу Гаусса. Но остается еще одно основание для его осуждения — отсутствие у него сердечности в оценке великих трудов других, особенно более молодых ученых. Когда Коши качал публиковать свои блестящие открытия в теории функций комплексной переменной, Гаусс игнорировал их. Ни слова похвалы или ободрения не дошло до молодого француза от короля математиков. Хорошо, но почему оно должно было дойти? Гаусс сам (как мы видели) достиг сердцевины проблемы годами раньше, чем Коши приступил к ней. Статья по этой теории должна была стать одним из шедевров Гаусса. Далее, когда труд Гамильтона по кватернионам в 1852 г., за 3 года до смерти Гаусса, привлек его внимание, он опять не сказал ни слова. Почему он должен был сказать что-нибудь? Суть предмета была захоронена в его заметках более 30 лет до этого. Он хранил свой покой и не претендовал на приоритет. Как и в своих предвосхищениях теории функций комплексной переменной, теории эллиптических функций и неевклидовой геометрии, Гаусс был удовлетворен проделанной работой.

Суть кватернионов — это алгебра, которая играет роль вращений в трехмерном пространстве, как алгебра комплексных чисел играет роль вращений на плоскости. Но для кватернионов (Гаусс называл их мутациями) нарушается одно из основных правил алгебры: для них уже не верно, что а ■ b = b  а, и невозможно создать алгебру трехмерных вращений, в которой это правило сохраняется. Гамильтон, один из великих математических гениев XIX в., пишет с ирландской цветистостью речи, как он в течение 15 лет старался изобрести алгебру, совместимую с тем, что требовалось, пока счастливое вдохновение не дало ему ключ к разгадке, что а  b не равно b ■ а в той алгебре, которую он искал. Гаусс 209  не сообщает, сколько времени поглотило у него достижение цели; он просто записал о своем успехе на нескольких страничках об алгебре, не оставляющей математике воображения.

Если Гаусс был несколько холоден в печатных выражениях признания ценности трудов, то в переписке и в научных сношениях с теми, кто обращался к нему в духе бескорыстных расспросов, он был достаточно сердечным. Одна из его дружеских научных связей имеет более чем только математический интерес, так как показывает либеральность взглядов Гаусса касательно женщин, занимающихся научной работой. Широта его взглядов в этом отношении была выдающейся для любого человека его поколения; для немца она была почти беспрецедентной.

Женщина, о которой идет речь, — мадемуазель Софи Жермен (1776–1831) — была старше Гаусса только на один год. Они никогда не встречались, и она умерла (в Париже) прежде, чем Гёттингенский университет смог присвоить ей почетную докторскую степень, что рекомендовал факультету Гаусс. По курьезному совпадению самая знаменитая женщина-математик XIX в., тоже Софья¹², получила свою докторскую степень много лет спустя в этом же самом либеральном университете после того, как Берлинский университет отказал ей в этом, учитывая ее пол. Видимо, Софья — удачное в математике имя для женщин, если только они опекаются широко мыслящими учителями. Ведущая женщина-математик нашего времени — Эмми Нетер (1882–1935) — также вышла из Гёттингена^***.

Научные интересы Софи Жермен охватывали акустику, математическую теорию упругости и высшую арифметику; в каждой из них она сделала заметные работы. В частности, ее вклад в исследование Последней теоремы Ферма привел в 1908 г. к значительному продвижению в этом направлении американского математика Леонарда Юджина Диксона (1874 — 1954).

В восторге от «Арифметических исследований» Софи написала Гауссу о некоторых своих арифметических наблюдениях. Боясь, что он может отнестись с предубеждением к женщине-математику, она присвоила себе мужское имя. У Гаусса сложилось высокое мнение о талантливом корреспонденте, к которому он обратился с письмом на прекрасном французском языке, как к «мсье Леблан».

Леблан сбросила (или сбросил) свою маску, когда вынуждена была сообщить Гауссу свое настоящее имя по случаю оказания ему одной доброй услуги в связи с занятием французами Ганновера. В письме от 30 апреля 1807 г. Гаусс благодарит ее за заступничество 210  и выражает сожаление по поводу войны. Дальше он делает ей большой комплимент и бегло высказывается о своей любви к теории чисел. Приведем выдержку из этого письма:

«Вкус к абстрактным наукам вообще и сверх всего к тайнам чисел встречается крайне редко: одиночка не удивляется этому; чарующее обаяние этой возвышенной науки открывается только тем, кто имеет смелость войти в нее глубоко. Но когда лицо того пола, который, согласно нашим привычкам и предубеждениям, должен столкнуться с бесконечно большими, чем мужчины, трудностями, чтобы ознакомиться с этими тернистыми исследованиями, тем не менее преуспевает в преодолении препятствий и постигает наиболее скрытые их части, тогда, несомненно, это лицо должно обладать благороднейшей смелостью, совершенно удивительными талантами и высшей гениальностью. Действительно, ничто не может доказать мне таким лестным и менее сомнительным способом, что прелести этой науки, которая обогатила мою жизнь столь многими радостями, не являются химерическими, как и склонность, которой Вы ее удостоили». Затем он переходит к обсуждению с ней математических вопросов.

Что Гаусс не только проявил вежливость по отношению к молодой поклоннице, показывает его письмо от 21 июля 1807 г. к своему другу Ольберсу: «...Лагранж горячо интересуется астрономией и высшей арифметикой; две теоремы-критерия (для каких простых чисел число 2 является кубичным или биквадратичным вычетом), которые я также сообщил ему некоторое время назад, он считает «одними из самых красивых и самых трудных по доказательству». Но Софи Жермен прислала мне их доказательства; я не имел возможности пройтись по ним, они хороши; по крайней мере, она подошла к вопросу с правильной стороны, только несколько более многословно, чем это было бы необходимо...» Теоремы, которые упоминает Гаусс, устанавливают, для каких нечетных простых чисел р каждое из сравнений х³ = 2 (mod р) и х⁴ = 2(mod p) разрешимо.

Описание всех выдающихся вкладов Гаусса в чистую и прикладную математику потребовало бы большой книги (возможно, больше, чем потребовалось бы для Ньютона). Здесь мы можем упомянуть только о некоторых более важных трудах, еще не упомянутых, и будем выбирать те из них, которые пополнили математику новыми приемами или завершили выдающиеся проблемы. В виде приблизительной, но удобной хронологии (принятой издателями сочинений Гаусса) мы подытожим основные области интересов Гаусса после 1800 г. следующим образом: 1800 — 1820 — астрономия; 1820 — 1830 — геодезия, теория поверхностей и теория конформного отображения; 1830 — 1840 — математическая физика, в особенности электромагнетизм, земной магнетизм и теория ньютоновского тяготения; 1841 — 1855 — топология и геометрия в связи с функциями комплексной переменной. 211 

В 1821–1848 гг. Гаусс был научным советником ганноверского (Гёттинген находился тогда под управлением Ганновера) и датского правительств по обширным геодезическим съемкам. Его метод наименьших квадратов и его мастерство в составлении схем обработки массы числовых данных получили большой размах, но еще важнее, что задачи, возникающие при точном топографировании части земной поверхности, несомненно, навели его на более глубокие и более общие задачи, связанные со всевозможными кривыми поверхностями. Этим исследованиям предстояло породить математику теории относительности. Предмет не был новым: некоторые предшественники Гаусса, особенно Эйлер, Лагранж и Монж, исследовали геометрию определенных типов кривых поверхностей, однако Гауссу осталось атаковать проблему во всей ее общности, и от его исследований развился первый великий период дифференциальной геометрии¹³.

Дифференциальную геометрию грубо можно описать как изучение свойств кривых, поверхностей и т. д. в непосредственной близости от некоторой точки, так что можно пренебречь степенями расстояний выше второй.

Вдохновленный трудами Гаусса, Риман в 1854 г. написал свою классическую диссертацию о гипотезах, лежащих в основаниях геометрии, которая, в свою очередь, стала началом второго великого периода в дифференциальной геометрии, той, которая применяется теперь в математической физике, особенно в общей теории относительности.

Три из проблем, которые рассматривал Гаусс в своем труде по теории поверхностей, навеяли важные в математическом и естественнонаучном отношении общие теории: измерение кривизны, теория конформных отображений и изгибаемость поверхностей.

Излишне мистифицируемое движение «искривленного» пространства-времени, которое является чисто математическим расширением известной, мыслимо представляемой кривизны на «пространство», описываемое четырьмя координатами вместо двух, было естественным развитием гауссова труда о кривых поверхностях. Разумность всего этого хорошо проиллюстрирует одно из его определений. Задача состоит в изобретении некоторых точных средств для описания того, как «кривизна» поверхности меняется от точки к точке поверхности; описание должно соответствовать нашему интуитивному представлению о том, что означает «более искривленная» и «менее искривленная».

Полная кривизна любой части поверхности, ограниченной замкнутой несамопересекающейся кривой С, определяется следующим образом. Нормалью к поверхности в данной точке является та прямая, проходящая через данную точку, которая перпендикулярна плоскости, касающейся поверхности в данной точке. В каждой 212  точке кривой С имеется нормаль к поверхности. Вообразим все эти нормали проведенными. Теперь представим, что из центра сферы с единичным радиусом (она может быть расположена где угодно относительно рассматриваемой поверхности) проведены все радиусы, параллельные нормалям, проходящим через точки кривой С. Эти радиусы вырежут на сфере единичного радиуса кривую, скажем С. Площадь этой части сферической поверхности, ограниченной кривой С, и есть по определению полная кривизна данной части криволинейной поверхности, ограниченной кривой С. Небольшое воображение показывает, что это определение соответствует обычным понятиям, как и требовалось.

Другой основной идеей, разработанной Гауссом в его исследовании поверхностей, была идея параметрического представления.

Чтобы отметить определенную точку на плоскости, требуются две координаты. То же и на поверхности сферы или сфероида, подобного Земле: в этих случаях координаты можно мыслить как широту и долготу. Это поясняет, что значит двухмерное многообразие. В общем случае: если точно п чисел как необходимы, так и достаточны, чтобы отметить (индивидуализировать) каждый отдельный элемент из какого-то класса вещей (точек, звуков, цветов, линий и т. д.), то говорят, что этот класс является п-мерным многообразием. При таком подходе принимается, что лишь некоторые характеристики элементов класса будут определены числами. Так, если мы рассматриваем только высоту звуков, то имеем одномерное многообразие, ибо одного числа — частоты колебания, соответствующей звуку — достаточно, чтобы определить его высоту. Если мы присовокупим громкость, измеренную по некоторой подходящей шкале, звуки являются уже двухмерным многообразием, и так далее. Если теперь рассмотрим поверхность как состоящую из точек, то видим, что она является двухмерным многообразием (точек). Употребляя язык геометрии, мы находим удобным говорить о любом двухмерном многообразии как о «поверхности» и применять к многообразию рассуждения геометрии в надежде обнаружить что-нибудь интересное.

Предыдущие рассмотрения приводят к параметрическому представлению поверхностей. В декартовой геометрии одно уравнение, 213  связывающее три координаты, представляет поверхность. Пусть координаты (декартовы) суть х, у, г. Вместо использования одного уравнения, связывающего х, у и г, для представления поверхности мы теперь ищем три уравнения:

x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v),

где / (и, v), g (и, v) и h (и, v) — такие функции (выражения) новых переменных и и и, что если эти переменные исключены из приведенных уравнений, то в результате имеем уравнение поверхности, связывающее х, у и z. Исключение возможно, так как два из уравнений можно использовать для разрешения относительно двух неизвестных и и v; результат затем подставляют в третье уравнение. Например, если

х = и -\- v, у = и — v, z = uv,

то из первых двух уравнений получаем и = ^x~^{r y}, v = - — - и, следовательно, из третьего имеем \z = х² — у². Теперь, когда переменные и и v независимо пробегают некоторое предписанное множество чисел, функции /, g, h будут принимать числовые значения и точка с координатами х, у, z будет двигаться по поверхности, уравнениями которой являются три выше записанные уравнения. Переменные и и v называются параметрами поверхности, а три уравнения х = f (и, и), у = g (и, v), z — h (и, v) — ее параметрическими уравнениями. Этот метод представления поверхностей имеет большие преимущества перед декартовым методом, когда применяется к изучению кривизны и других свойств поверхностей, которые быстро меняются от точки к точке.

Заметим, что параметрическое представление является внутренним, оно соотносит саму поверхность к ее координатам, а не к внешней посторонней системе осей, не связанной с поверхностью, как в случае метода Декарта. Заметим также, что два параметра и и v непосредственно выявляют двухмерность поверхности. Широта и долгота на земной поверхности являются примерами этих внутренних, «естественных» координат; было бы в высшей степени затруднительным осуществлять навигацию, ссылаясь на три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр Земли, как требовалось бы для кораблевождения по Декарту.

Другим преимуществом метода является легкость обобщения на пространство любого числа измерений. Достаточно увеличить число параметров и действовать, как выше. У Римана эти простые идеи естественно приводят к обобщению метрической геометрии Пифагора и Евклида. Основы этого обобщения были заложены Гауссом, но их важность для математики и физики не была полностью оценена до нашего столетия.

Геодезические исследования подсказали Гауссу также развитие другого мощного метода геометрии, метода конформного отображения. До того, как можно чертить карту, скажем, Гренландии, нужно определить, что должно сохраниться. Нужно ли искажать 214  расстояния так, как они искажаются в проекции Меркатора, до того, что Гренландия становится преувеличенной в сравнении с Северной Америкой? Или же нужно сохранять расстояния так, чтобы дюйм на карте, измеренный где угодно вдоль соответствующих линий (скажем, линий широты и долготы), всегда будет соответствовать одному и тому же расстоянию, измеренному на земной поверхности? Если это так, то нужен определенный тип отображения. И этот тип не будет сохранять какую-то другую характерную черту, которую мы могли бы пожелать сохранить. Например, если две дороги на земле пересекаются под определенным углом, то линии, представляющие эти дороги на карте, пересекутся под другим углом. Тот тип отображения, который сохраняет углы, называется конформным. При таком отображении наиболее полезным орудием является ранее описанная теория аналитических функций комплексной переменной.

Конформное отображение в целом постоянно используется в математической физике и ее применениях, например в электростатике, гидродинамике и ее отпрыске — аэродинамике; в последней оно выступает как часть теории крыла¹⁴.

Еще одной областью геометрии, которую Гаусс обработал с обычными для него основательностью и удачей, была область изгибания поверхностей, в которой требуется определить, какие поверхности могут быть изогнуты в данную поверхность без растягивания и разрывания. И здесь изобретенные Гауссом методы были общими и широко полезными.

Гаусс обогатил фундаментальными исследованиями другие разделы естествознания, например математические теории электромагнетизма, включая земной магнетизм, капиллярности, притяжения эллипсоидов (планеты являются эллипсоидами специального вида) при действии ньютонова закона тяготения, а также диоптрики, особенно относительно систем линз. Последняя предоставила ему удобный случай применить некоторые из чисто абстрактных приемов (непрерывные дроби), которые он развивал молодым человеком, чтобы удовлетворить свою любознательность в теории чисел.

Во всех этих вещах Гаусс не только возвышенно математизировал, он использовал свои руки и свои глаза, был исключительно тщательным наблюдателем. Многие из открытых им специфических теорем, особенно в его исследованиях по электромагнетизму и теории притяжения, стали частью необходимого запаса знаний в занятиях тех, кто серьезно работает в физической науке. В течение многих лет Гаусс с помощью своего друга Вебера искал удовлетворительную теорию для всех электромагнитных явлений. Потерпев неудачу в поисках того, что он считал удовлетворительным, Гаусс отказался от своей попытки. Если бы он нашел уравнения электромагнитного поля, установленные Джеймсом Клерком Максвеллом (1831–1879), он мог бы быть удовлетворенным. 215 

В заключение этого длинного, но все же далеко не полного перечня великих свершений, благодаря которым Гаусс заслужил неоспоримый титул Короля математиков, мы должны упомянуть о предмете, по которому он ничего не опубликовал, кроме беглого намека в диссертации 1799 г., но относительно которого предсказывал, что он станет одним из главных в математике, — о топологии (analysis situs). Рабочее определение того, что это значит, здесь невозможно (оно требует понятия непрерывной группы), но некоторый намек на тип задач, с которыми он имеет дело, можно получить из простого примера. Какой-то вид узла завязан на веревке и затем концы веревки сращены. «Простой» узел легко отличим на глаз от «сложного», но как следует дать точное, математическое указание о различии между ними? И как мы должны математически классифицировать узлы? Хотя Гаусс ничего не публиковал об этом, он положил этому начало, как было обнаружено в его посмертных бумагах. Другой тип задачи этого предмета — определить наименьшее число разрезов данной поверхности, которое позволит нам распластать поверхность на плоскости. Для конической поверхности достаточно одного разреза; для якорного кольца — два; для сферы недостаточно конечного числа разрезов, если не разрешено растяжение.

Эти примеры могут навести на мысль, что весь предмет тривиален. Если бы это было так, Гаусс не придавал бы чрезвычайного значения тому, что он сделал. Его предсказание о фундаментальном характере этого предмета осуществилось при жизни нашего поколения начала нашего века. Сильная школа (включающая многих американцев — Дж. У. Александера, С. Лефшеца, О. Веблена и др.¹⁵) пришла к заключению, что топология, или «геометрия положения», как иногда принято ее называть, имеет далеко идущие разветвления как в геометрии, так и в анализе. Как жаль, кажется нам теперь, что Гаусс не смел урвать год или два от Цереры, чтобы привести в систему свои мысли об этой обширной теории, которая должна была стать мечтой его старого поколения и реальностью молодого поколения нашего века.

В последние годы жизни Гаусса ему воздавались всевозможные почести, но он не был настолько счастлив, насколько заслужил на это право. Оставаясь, как всегда, могучим разумом и плодотворно изобретательным, Гаусс не стремился к отдыху, когда за несколько месяцев до смерти появились первые признаки его последней болезни.

В первый раз, более чем за 20 лет, он покинул Гёттинген 16 июня 1854 г., чтобы увидеть строительство железной дороги между его городом и Касселем — Гаусс всегда проявлял большой интерес 216  к сооружению и действию железных дорог. Лошади понесли, он был выброшен из кареты, остался невредимым, но сильно потрясённым. Он выздоровел и даже доставил себе удовольствие быть очевидцем церемонии открытия железной дороги, достигшей Гёттингена, 31 июля 1854 г. Это был его утешительный день.

В самом начале нового года он стал страдать большей частью от расширения сердца и недостаточности дыхания. Тем не менее он работал, когда мог, хотя его руку сводило и, наконец, нарушился его красивый ясный почерк. Последнее написанное им письмо было к Давиду Брюстеру об открытии электрического телеграфа.

В полном сознании почти до самого конца, он спокойно умер после отчаянной борьбы за жизнь рано утром 23 февраля 1855 г. на 78-м году жизни. Он живет всюду в математике. 217